Q.If $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ are coplanar vectors, show that $(\vec a\times\vec b)\times(\vec c\times\vec d)=\vec 0$.

Compute $\vec a\times\vec b$ and $\vec c\times\vec d$, cross them to get the LHS, then compute the scalar triple products $[\vec a,\vec b,\vec d]$ and $[\vec a,\vec b,\vec c]$ to get the RHS, and confirm they match.

Given: $\vec a=(1,1,1)$, $\vec b=(2,0,1)$, $\vec c=(2,1,1)$, $\vec d=(1,1,2)$.

1. Compute $\vec a\times\vec b$.

$\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&1\\2&0&1\end{vmatrix}=\vec i(1-0)-\vec j(1-2)+\vec k(0-2)=(1,1,-2)$

2. Compute $\vec c\times\vec d$.

$\vec c\times\vec d=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&1&1\\1&1&2\end{vmatrix}=\vec i(2-1)-\vec j(4-1)+\vec k(2-1)=(1,-3,1)$

3. Compute the LHS $(\vec a\times\vec b)\times(\vec c\times\vec d)$.

$(1,1,-2)\times(1,-3,1)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&-2\\1&-3&1\end{vmatrix}=\vec i(1-6)-\vec j(1+2)+\vec k(-3-1)=(-5,-3,-4)$

4. Compute the scalar triple product $[\vec a,\vec b,\vec d]=\vec a\cdot(\vec b\times\vec d)$.

$\vec b\times\vec d=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&0&1\\1&1&2\end{vmatrix}=\vec i(0-1)-\vec j(4-1)+\vec k(2-0)=(-1,-3,2)$

$[\vec a,\vec b,\vec d]=(1,1,1)\cdot(-1,-3,2)=-1-3+2=-2$

…