Q.If $A=\begin{bmatrix}2 & -4\\3 & -2\\0 & 1\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2\\-2 & 1 & 0\end{bmatrix}$, show that $(AB)^T=B^TA^T$.

$A=\begin{bmatrix}2 & -4\\3 & -2\\0 & 1\end{bmatrix}$ (3x2), $B=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2\\-2 & 1 & 0\end{bmatrix}$ (2x3). AB is 3x3.

Row1[2,-4]$\cdot$B: $[2(1)+(-4)(-2),\ 2(-1)+(-4)(1),\ 2(2)+(-4)(0)]=[10,-6,4]$.

Row2[3,-2]$\cdot$B: $[3(1)+(-2)(-2),\ 3(-1)+(-2)(1),\ 3(2)+(-2)(0)]=[7,-5,6]$.

Row3[0,1]$\cdot$B: $[0(1)+1(-2),\ 0(-1)+1(1),\ 0(2)+1(0)]=[-2,1,0]$.

$AB=\begin{bmatrix}10 & -6 & 4\\7 & -5 & 6\\-2 & 1 & 0\end{bmatrix}$, so $(AB)^T=\begin{bmatrix}10 & 7 & -2\\-6 & -5 & 1\\4 & 6 & 0\end{bmatrix}$.

$B^T=\begin{bmatrix}1 & -2\\-1 & 1\\2 & 0\end{bmatrix}$ (3x2), $A^T=\begin{bmatrix}2 & 3 & 0\\-4 & -2 & 1\end{bmatrix}$ (2x3). $B^TA^T$ (3x3):

Row1[1,-2]$\cdot$A^T: $[1(2)+(-2)(-4),\ 1(3)+(-2)(-2),\ 1(0)+(-2)(1)]=[10,7,-2]$. …

• Writing $(AB)^T=A^TB^T$ instead of reversing the order to $B^TA^T$. …